英国の数学者は、100万ドルの価値がある秘密を解明したと考えている

リーマン予想は、ほぼ 160 年にわたって数学界で最も有名な未解決問題の一つでした。時折、この予想の有効な証明を開発した新しい数学者が登場しますが、これまで広く受け入れられる解決策を立案することに成功した人はいません。

しかし、私たちの最新の候補者は、名を上げたいだけの新人ではありません。月曜日、引退した英国の著名な数学者、マイケル・フランシス・アティヤ卿がハイデルベルク賞受賞者フォーラムで講演し、ライマン予想の証明であると主張した内容を概説しました。アティヤの研究が精査に耐えれば、かなり突飛で予想外の結論となり、賞金100万ドルを獲得することになります。

残念ながら、それは大きな「もし」です。

リーマン予想は、素数についてどのような意味を持つかで有名です。素数は、1 より大きい自然数で、2 つのより小さい自然数を掛け合わせても形成できず、したがって、それ自体か 1 でしか割り切れない数です。素数には、2、3、5、7、11、13、17、19、23 などがあります。数直線を上に進むにつれて、素数は出現頻度がずっと少なくなり、素数の間隔もずっと大きくなります。

残念ながら、素数は、次の素数が何であるかを簡単に推測できるような規則的なパターンに従っていません。23 が素数であるとわかっていても、29 が素数であることや、その次の数が 31 であることが自動的にわかるわけではありません。これらの素数の間には、識別可能な関連性はありません。

1859 年、ドイツの数学者ベルンハルト リーマンは、リーマン予想を提唱しました。これは、リーマン ゼータ関数と呼ばれる方程式が、複素数 (実数と虚数の両方を使用する数) を正確に受け取り、別の数を返すことができるというものです。リーマンは、ゼータ関数は、負の偶数または実部が 1/2 である複素数を代入するなど、特定の条件下でのみ 0 の値を返すと仮定しました。

この仮説が正しいとすれば、ゼータ関数は基本的にすべての素数の分布を無限に特定できることになります。ゼータ関数は最初の 10 兆個の素数については有効ですが、まず素数を特定し、その後リバース エンジニアリングを行ってゼータ関数が成り立つことを証明する必要があるため、技術的にはまだ問題は解決されていません。金を素数に置き換えると、リーマン予想の証明は基本的に数学界のエルドラドへの地図になります。

そしてもちろん、リーマン予想を解く動機として、クレイ数学研究所が主催する 7 大数学ミステリーの 1 つを解くコンテストであるミレニアム懸賞問題で授与される 100 万ドルの賞金が含まれていることも役立っています。人々がこのコンテストに参加するのは、単に自慢したいからではありません。

「リーマン予想の証明はあまりにも難しいので、誰も信じません」とアティヤ氏は講演中に語った。「誰も証明していないのに、なぜ今証明する必要があるのでしょうか？ もちろん、まったく新しいアイデアがない限りは。」

アティヤの証明は、2 つの粒子間の電磁力の相互作用を説明する微細構造定数という一見無関係な物理学の概念を利用しています。アティヤは、リーマン予想を「背理法」によって解決 (つまり証明) します。これは、問題が真実ではないと仮定し、これらの仮定自体が不可能であることを示すことによってそれを証明しようとする一種の証明です。

多くの数学者は、さまざまな理由からアティヤの証明を警戒している。「矛盾」アプローチ自体に問題があるわけではないが、それほど大きな信頼感も得られない。微細構造定数は特定の条件下で変化する可能性があるという証拠がいくつかあり、この「定数」に矛盾がある場合、この種の証明の一部として使用するのは必ずしも適切ではない可能性がある。アティヤのアプローチは、必ずしも両立しないかもしれない方法で、素粒子物理学の一部と数学を結び付けようとしているように思える。彼の証明に関する5ページの記述は、 Proceedings of the Royal Society Aに提出された理論的研究に大きく依存しているが、まだ出版されていないため、他の専門家が評価するのが難しい。

アティヤ氏は過去数年にわたり、より綿密な精査に耐えられない数学的証明を他にも提案してきたという事実によって状況は悪化しており、彼のライマン仮説の証明は最新の誤った試みに過ぎないのではないかという懸念が生じている。

権威あるフィールズ賞とアーベル賞の両方を受賞したアティヤ氏は、こうした批判にまったく動揺していない。「リーマン予想は、背理法による証明を信じないタイプの人を除いては、証明されています」と講演中に述べた。「人々は通常、背理法による証明を受け入れます。ですから、私は自分が賞に値すると主張します」。アティヤ氏は直接コメントを求めたが、回答はなかった。

英国ウォーリック大学の数学者ニコラス・ジャクソン氏は、アティヤ氏の研究に対する厳格な査読がこれまで行われていないため、「現時点では慎重」だと述べている。ジャクソン氏は、アティヤ氏が「優秀で非常に著名な数学者」であることは認めつつも、リーマン予想は「150年以上も解決されていない、非常に難しい問題として有名です。過去150年間に他のトップクラスの数学者数名がほぼ証明しましたが、その証明には微妙だが致命的な欠陥が見つかりました。デンマークの数学者ピート・ハインの短い詩、または「グルーク」に「攻撃に値する問題は、反撃することでその価値を証明する」とありますが、これはリーマン予想にも確かに当てはまります」と強調している。

さらに、賭け金がとてつもなく高いわけではない。アティヤの証明が本当に真実なら、それは称賛に値する業績となるだろうが、数学界全体に必ずしも大きな影響を与えるわけではない。「多くの人が指摘しているように、リーマン予想自体は目覚ましい結果をもたらさない」と、カリフォルニア大学バークレー校の数学者ケネス・リベットは言う。インターネット通信のセキュリティ保護に素数分布を使用する現代の暗号システムもあるが、この予想を解くことは、他の何よりも数学に特有の執念である。

「現時点では、アティヤの研究の詳細を十分に把握していないため、十分な情報に基づいた判断を下すことができません」とジャクソン氏は言う。「ですから、懐疑的な立場がデフォルトになるのは当然だと思います。数学は厳密で形式的な証明に全面的に依存しています。議論のすべてのステップは確実かつ堅牢でなければなりません。そうでなければ、すべてが崩壊してしまいます。」