数学者が新しい形を定義する—あなたも見たことがあるだろう

想像しにくいかもしれませんが、新たに定義された幾何学的形状が存在します。最近の計算に基づいて、数学者は「ソフト セル」と呼ぶ新しい分類を説明しました。最も基本的な形では、ソフト セルは、尖端のような角で連結して 2 次元または 3 次元の空間を埋めることができる、丸い角を持つ幾何学的構成要素の形をとります。この概念が驚くほど初歩的だと思うのは、あなただけではありません。

「単純に言ってしまえば、これまで誰もこんなことをしたことがない」と、この研究とは無関係の国立数学博物館の数学者、チャイム・グッドマン＝シュトラウス氏は9月20日、ネイチャー誌にこの分類について語った。「考慮すべき基本的な事柄がこんなにたくさんあるなんて、本当に驚きだ」

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専門家は何千年も前から、三角形、正方形、六角形などの特定の多角形を配置して 2D 平面を隙間なく覆うことができることを理解していました。しかし 1980 年代に、研究者はペンローズ タイルなどの構造を発見し、規則的に配置を繰り返さなくても空間を埋めることができるようになりました。これらの幾何学的進歩とその他の進歩を基に、ブダペスト工科経済大学のガボール ドモコス率いるチームは最近、これらの概念をさらに詳しく調査し始めました。これには、「周期的な多角形タイル」の再検討と、一部の角を丸くすると何が起こるかという概念が含まれていました。

PNAS Nexus 9月号に掲載された研究結果は、ドモコス氏らが「ソフトセル」と呼ぶもの、つまり「カスプ形状」に変形された特定の角のおかげで空間を完全に埋めることができる丸みを帯びた形状を明らかにしている。これらのカスプは、内角がゼロで、エッジが接線方向に交わって他の丸い角にフィットするのを特徴としている。数学者らは、新しいアルゴリズムモデルを使用して、これらの新しいルールに従う形状を使用して何ができるかを調べた。タイルは2次元空間では少なくとも2つのカスプ角を必要とするが、3Dに拡張すると、そのような角がなくても体積空間を埋めることができる。特に、彼らは3Dタイルの「柔らかさ」を測定する定量的手段を計算し、「最も柔らかい」反復には翼状のエッジが含まれることを発見した。

自然界における2Dソフトセルの例としては、タマネギの断面、生物組織細胞、河川の浸食によって形成された島などがある。3Dでは、オウムガイの殻片にその形状が見られる。これらの軟体動物の観察は「転機」だったとドモコス氏はネイチャー誌に語った。なぜなら、その区画の断面は、一対の角を持つ2Dソフトセルのように見えたからだ。この研究にもかかわらず、共著者のクリスティーナ・レゴス氏は、殻室自体には角がないと理論づけた。

「それは信じられない話だったが、後に彼女が正しかったことが分かった」とドモコス氏は語った。

しかし、なぜ幾何学者は何百年もの間、ソフトセルを具体的に定義できなかったのでしょうか? 答えは、ソフトセルの相対的な単純さにあるとドモコスは主張します。

「多角形や多面体のタイリングの世界は非常に魅力的で豊かなので、数学者はその遊び場を広げる必要がなかった」と彼は述べ、多くの現代の研究者は発見には高度な数学方程式やアルゴリズムプログラムが必要だと誤って想定していると付け加えた。

明確に説明されていなくても、人間は長年ソフトセルのデザインを直感的に理解してきたようです。ヘイダル・アリエフ・センターやシドニー・オペラハウスなどの建築デザインは、象徴的な丸みを帯びた特徴を実現するために、その基本原理に依存しています。