この代数学教師がなぜ生徒たちに授業で編み物をさせるのか

1 月のある雪の日、私は教室にいる大学生たちに、数学について考えるときに最初に思い浮かぶ言葉を尋ねました。上位 2 つの言葉は「計算」と「方程式」でした。

私がプロの数学者たちに同じ質問をしたところ、どちらの言葉も出てこず、代わりに「批判的思考」や「問題解決」といった言葉が返ってきました。

残念ながら、これはよくあることです。プロの数学者が数学と考えるものは、一般の人が数学と考えるものとはまったく異なります。多くの人が数学を計算と同義語と表現している以上、「数学は嫌い」という声が頻繁に聞かれるのも不思議ではありません。

そこで私は、少し変わった方法でこの問題を解決しようと試みました。私の所属するカルタゴ大学で「編み物の数学」という授業を行うことにしました。その授業では、鉛筆、紙、計算機（驚いたことに）、教科書を教室から完全に排除することにしました。その代わりに、私たちは話をし、手を使い、絵を描き、ビーチボールからメジャーまであらゆるもので遊びました。宿題として、ブログを書いて振り返りました。そしてもちろん、編み物をしました。

同じだけど違う

数学的内容の核心の一つは方程式であり、等号はこれに不可欠です。x = 5 のような方程式は、ある量を表す恐ろしい x が 5 と同じ値を持つことを示しています。数字 5 と x の値は正確に同じでなければなりません。

一般的な等号は非常に厳密です。「正確に」からのわずかな逸脱は、2 つのものが等しくないことを意味します。ただし、人生には、2 つの量が完全に同じではないが、何らかの意味のある基準によって本質的に同じである場合が数多くあります。

たとえば、正方形の枕が 2 つあるとします。1 つ目は、上が赤、右が黄色、下が緑、左が青です。2 つ目は、上が黄色、右が緑、下が青、左が赤です。

枕はまったく同じではありません。1 つは上部が赤で、もう 1 つは上部が黄色です。しかし、確かに似ています。実際、赤い上部の枕を反時計回りに 1 回回転させると、まったく同じになります。

同じ枕をベッドに置いて、別の枕のように見せるには、何通りの方法があるでしょうか。少し調べてみると、24 種類の色のクッションの組み合わせが考えられますが、特定の枕を動かすことで実現できる組み合わせはそのうち 8 つだけです。

生徒たちは、編み図から2色でできたクッションを編むことで、これを実演しました。

生徒たちは、編み図の 8 つの動きすべてで異なる絵が描ける正方形の編み図を作成しました。次に、この編み図を使ってクッションを編み、実際にクッションを動かすことで絵の等価性を確認できるようにしました。

ゴムシートの形状

私たちが取り上げたもう 1 つのトピックは、「ゴムシート幾何学」と呼ばれることもあります。これは、世界全体がゴムでできていると想像し、その形状がどのように見えるかを再想像するという考え方です。

編み物でその概念を理解してみましょう。帽子や手袋のような丸いものを編む方法の 1 つは、二本針と呼ばれる特殊な編み針を使うことです。帽子は編むときに 3 本の針で形作られ、三角形に見えます。その後、針から外れるときに伸縮性のある糸が緩んで円になり、より一般的な帽子になります。

これは、「ゴムシート幾何学」が捉えようとしている概念です。柔軟な素材で作られていれば、三角形と円は同じになることがあります。実際、この研究分野では、すべての多角形は円になります。

すべての多角形が円である場合、どのような形状が残りますか? オブジェクトが柔軟な場合でも、区別できる特性がいくつかあります。たとえば、形状にエッジがあるかエッジがないか、穴があるか穴がないか、ねじれているかねじれていないかなどです。

円に等しくないものを編む例として、無限大のスカーフがあります。紙製の無限大のスカーフを自宅で作りたい場合は、長い紙片を用意し、左上隅を右下隅に、左下隅を右上隅に取り付けて、短い辺を接着します。次に、物体の周囲全体に上向きの矢印を描きます。何かクールなことが起こるはずです。

このコースの学生たちは、柔軟な素材で作られていても異なるインフィニティ スカーフやヘッドバンドなどの物を編むことに時間を費やしました。矢印などのマークを付けることで、物がどのように異なるかを正確に視覚化できるようになりました。

さまざまな味

この記事で説明されている内容が数学らしくないと思われるなら、それは数学そのものであることを私は強調しておきたいと思います。ここで議論されている主題、つまり抽象代数と位相幾何学は、通常、大学 3 年生と 4 年生の数学専攻の学生向けのものです。しかし、適切な媒体があれば、これらの主題の哲学は非常に理解しやすいものです。

私の考えでは、こうした異なる種類の数学を一般の人々から隠したり、従来の数学よりも重要視しなかったりする理由はない。さらに、物理的に操作できる教材を使用すると、あらゆる学習レベルで数学の学習が向上することが研究で示されている。

もっと多くの数学者が古典的な手法を捨て去ることができれば、世界は計算と数学は同じだという一般的な誤解を克服できる可能性があるように思われます。そして、おそらく、もっと多くの人が、比喩的にではなくとも、文字通り、クッションで数学的思考を受け入れることができるでしょう。

サラ・ジェンセンはカーセージ大学の数学助教授です。この記事はもともと The Conversation に掲載されました。