数学者が初めて素数に気付いてから2,300年経った今でも、彼らは素数に興味を抱いている

3 月 20 日、アメリカ系カナダ人の数学者ロバート ラングランズが数学における生涯の功績をたたえられ、アーベル賞を受賞しました。ラングランズの研究は、幾何学、代数、解析学の概念を素数という共通のつながりによってどのようにまとめることができるかを実証しました。

ノルウェー国王が5月にラングランズ氏に賞を授与する際、国王は、数学におけるおそらく最大かつ最古のデータセットである素数の解明に向けた2,300年にわたる努力の最新の成果を称えることになる。

この「ラングランズ プログラム」に献身する数学者として、私は素数の歴史と、最近の進歩によって素数の秘密がどのように解明されたかに魅了されています。なぜ素数は何千年もの間数学者を魅了してきたのでしょうか?

素数の見つけ方

素数を研究するために、数学者は整数を仮想メッシュに次々に通して素数だけが残るまでふるいにかける。このふるい分けのプロセスにより、1800 年代に何百万もの素数の表が作成された。これにより、今日のコンピューターは 1 秒未満で何十億もの素数を見つけることができる。しかし、ふるいの基本的な考え方は 2,000 年以上変わっていない。

「素数とは、その単位のみで測られる数である」と数学者ユークリッドは紀元前 300 年に書いています。これは、素数は 1 以外の小さい数では割り切れないことを意味します。慣例により、数学者は 1 自体を素数として数えません。

ユークリッドは素数が無限にあることを証明しました。素数は永遠に続くのです。しかし、歴史によれば、素数を素早く列挙するふるいを発明したのはエラトステネスでした。

これがふるいの考え方です。まず、2 の倍数、次に 3、5、7 の倍数、つまり最初の 4 つの素数を除外します。これを 2 から 100 までのすべての数に対して実行すると、素数だけが残ります。

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8 つのフィルタリング ステップを使用すると、最大 400 個の素数を分離できます。168 のフィルタリング ステップを使用すると、最大 100 万個の素数を分離できます。これがエラトステネスのふるいの威力です。

テーブルとテーブル

素数の表作成の先駆者として、ジョン・ペルがいます。彼はイギリスの数学者で、有用な数の表の作成に専念しました。彼はディオファントスの古代の算術問題を解くことに意欲的でしたが、数学的真理を体系化する個人的な探求も動機でした。彼の努力のおかげで、1700 年代初期には 100,000 までの素数が広く流通しました。1800 年までには、独立したプロジェクトによって 100 万までの素数が表にまとめられました。

面倒なふるい分けの手順を自動化するために、カール・フリードリヒ・ヒンデンブルクというドイツの数学者は、調整可能なスライダーを使用して、一度に表の 1 ページ全体に倍数をスタンプしました。もう 1 つのローテクだが効果的な方法は、ステンシルを使用して倍数を見つけることです。1800 年代半ばまでに、数学者ヤコブ・クリクは、1 億までのすべての素数を見つけるという野心的なプロジェクトに着手しました。

1800 年代のこの「ビッグ データ」は、カール フリードリヒ ガウスが素数をそれ自体のために分析しようとしなかったら、参照表としてしか役に立たなかったかもしれません。300 万までの素数のリストを手にしたガウスは、一度に 1000 単位の「キリアド」、つまり素数を 1 つずつ数え始めました。1000 までの素数を数え、次に 1000 から 2000 までの素数を数え、次に 2000 から 3000 までの素数を数える、というように続けました。

ガウスは、数え上げていくと、逆対数の法則に従って素数の出現頻度が徐々に少なくなることを発見しました。ガウスの法則は素数の正確な数を示すものではありませんが、かなり正確な推定値を提供します。たとえば、彼の法則は、1,000,000 から 1,001,000 の間に 72 個の素数を予測します。正確な数は 75 個で、誤差は約 4 パーセントです。

ガウスの最初の研究から 1 世紀後、彼の法則は「素数定理」で証明されました。素数の範囲が広くなるほど、誤差率はゼロに近づきます。今日では 100 万ドルの懸賞金問題となっているリーマン予想も、ガウスの推定が実際にどれほど正確であるかを説明しています。

素数定理とリーマン予想は注目を集め資金も獲得しているが、どちらもそれ以前の、それほど魅力的ではないデータ分析を継承したものである。

現代のプライムミステリー

今日、私たちのデータセットは手で切り取ったステンシルではなくコンピューター プログラムから取得されますが、数学者は依然として素数の新しいパターンを発見し続けています。

2 と 5 を除いて、すべての素数は 1、3、7、または 9 で終わります。1800 年代に、これらの最後の数字は同程度に頻繁に出現することが証明されました。つまり、100 万までの素数を見ると、約 25 パーセントが 1 で終わり、25 パーセントが 3 で終わり、25 パーセントが 7 で終わり、25 パーセントが 9 で終わります。

数年前、スタンフォードの数論学者レムケ・オリバーとカンナン・サウンダラジャンは、素数の最後の桁の奇妙な性質に驚かされました。ある実験では、素数の最後の桁と、その次の素数の最後の桁を調べました。たとえば、23 の次の素数は 29 です。最後の桁には 3 と 9 が続きます。素数の最後の桁では、3 と 9 の順の方が 3 と 7 の順よりも多く見られますか?

数論学者はある程度の変動を予想していましたが、彼らが発見したものは予想をはるかに上回るものでした。素数は異なる間隔で区切られています。たとえば、23 は 29 から 6 桁離れています。しかし、23 や 29 のように 3 の次に 9 の素数は、7 の次に 3 の素数よりもはるかに一般的です。ただし、どちらも 6 桁の間隔から生じています。

数学者はすぐにもっともらしい説明を見つけました。しかし、連続する素数の研究となると、数学者は（主に）データ分析と説得に限定されます。物事がなぜ真実であるかを説明する数学者のゴールドスタンダードである証明は、何十年も先のことのように思えます。

マーティン・H・ワイスマンは、カリフォルニア大学サンタクルーズ校の数学准教授です。この記事はもともと The Conversation に掲載されました。